flowchart LR
A((A))
B((B))
C((C))
D((D))
E((E))
A --> B
A --> B
A --> B
B --> C
B --> C
A --> D
A --> D
D --> C
D --> C
D --> C
D --> C
C --> E
C --> E
C --> E
C --> E
C --> E
قاعدتا الجمع والضربSum and Product Rule
تسأل مسائل العد عن عدد الخيارات أو العناصر التي تحقق شروطًا معيّنة. غالبًا نريد حساب هذا العدد من دون سرد جميع الاحتمالات واحدًا واحدًا.
قاعدة الجمع
إذا كان الاختيار يتم من حالة واحدة فقط من عدة حالات منفصلة، فإننا نجمع أعداد الاحتمالات.
مثلًا، لنفترض أنه يمكننا اختيار قلم واحد من 4 أقلام حمراء أو قلم واحد من 3 أقلام زرقاء. يكون عدد الخيارات الممكنة:
\[ 4 + 3 = 7 \]
يجب ألّا تتداخل الحالات؛ وإلا فسيُحسب العنصر الذي ينتمي إلى أكثر من حالة عدة مرات.
قاعدة الضرب
إذا كان تكوين نتيجة واحدة يتطلب عدة اختيارات متتابعة، فإننا نضرب أعداد الخيارات.
مثلًا، لنفترض أننا نختار قميصًا واحدًا من 3 قمصان، وبنطالًا واحدًا من بنطالين. يكون عدد الأطقم الممكنة:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
تعمل قاعدة الضرب أيضًا مع أكثر من اختيارين. إذا كان الرمز يتكوّن من حرفين إنجليزيين يتبعهما رقم واحد، وكان التكرار مسموحًا، فإن عدد الاحتمالات هو:
\[ 26 \cdot 26 \cdot 10 = 6760 \]
الجمع أم الضرب؟
| بنية الاختيار | القاعدة |
|---|---|
| الاختيار من الحالة A أو الحالة B | نجمع |
| الاختيار من A ثم الاختيار من B | نضرب |
مثلًا:
- اختيار قلم واحد من 4 أقلام أو دفتر واحد من 3 دفاتر يعطينا \(4+3=7\) خيارات.
- اختيار قلم واحد من 4 أقلام مع دفتر واحد من 3 دفاتر يعطينا \(4\cdot3=12\) خيارًا.
كلمتا أو ومع تلميحان مفيدان، لكن الأهم هو تحديد ما إذا كانت الاحتمالات بدائل منفصلة أم اختيارات متتابعة.
دمج القاعدتين
لنفترض أننا نريد الانتقال من المدينة \(A\) إلى المدينة \(E\) عبر شبكة الطرق ذات الاتجاه الواحد التالية:
يوجد \(3\cdot2=6\) طرق للوصول إلى \(C\) عبر \(B\)، ويوجد \(2\cdot4=8\) طرق للوصول إليها عبر \(D\). هاتان حالتان منفصلتان، ولذلك يكون عدد الطرق إلى \(C\):
\[ 3\cdot2 + 2\cdot4 = 14. \]
ومن \(C\) يوجد 5 اختيارات للطريق الأخير إلى \(E\). إذن عدد الطرق من \(A\) إلى \(E\) هو:
\[ (3\cdot2 + 2\cdot4)\cdot5 = 70. \]
بشكل عام: نضرب أعداد الخيارات داخل كل حالة، ثم نجمع نتائج الحالات المنفصلة.