أمثلة محلولةWorked Examples
رموز من ثلاثة أرقام
يتكوّن رمز من ثلاثة أرقام. لا يمكن أن يكون الرقم الأول صفرًا، ويسمح بتكرار الأرقام. كم رمزًا مختلفًا يمكن تكوينه؟
الحل
للرقم الأول 9 اختيارات، ولكل رقم من الرقمين الباقيين 10 اختيارات:
\[ 9\cdot10\cdot10=900. \]
رموز بلا أرقام مكررة
كم رمزًا من أربعة أرقام يبدأ برقم غير صفري ولا يحتوي أرقامًا مكررة؟
الحل
للرقم الأول 9 اختيارات. وللرقم الثاني 9 اختيارات أيضًا؛ لأننا استخدمنا رقمًا واحدًا، لكن الصفر أصبح متاحًا. ثم يكون للرقمين الأخيرين 8 و7 اختيارات.
\[ 9\cdot9\cdot8\cdot7=4536. \]
رقم واحد بالضبط
تتكوّن كلمة مرور من ثلاثة رموز. كل رمز إما حرف إنجليزي كبير أو رقم. كم كلمة مرور تحتوي رقمًا واحدًا بالضبط؟
الحل
نقسم الاحتمالات بحسب موضع الرقم:
- إذا كان الرقم في الموضع الأول: \(10\cdot26\cdot26\).
- إذا كان الرقم في الموضع الثاني: \(26\cdot10\cdot26\).
- إذا كان الرقم في الموضع الثالث: \(26\cdot26\cdot10\).
هذه الحالات لا تتداخل، ولذلك يكون الجواب:
\[ 3\cdot10\cdot26^2=20280. \]
ألوان مختلفة للشرائط المتجاورة
يتكوّن علم من أربعة شرائط أفقية. يكون كل شريط أحمر أو أخضر أو أزرق، ويجب أن يختلف لون كل شريط عن لون الشريط المجاور له. كم علمًا مختلفًا يمكن تكوينه؟
الحل
للشريط الأول 3 اختيارات. ولكل شريط بعده اختياران، وهما اللونان المختلفان عن لون الشريط السابق.
\[ 3\cdot2\cdot2\cdot2=24. \]
رمزان متساويان بالضبط
تتكوّن سلسلة من ثلاثة رموز باستخدام الرموز A وB وC وD. كم سلسلة تحتوي رمزين متساويين بالضبط؟
الحل
نختار موضع الرمز المختلف بـ3 طرق، ثم نختار الرمز المكرر بـ4 طرق، وبعدها نختار للموضع المتبقي رمزًا مختلفًا بـ3 طرق.
\[ 3\cdot4\cdot3=36. \]
رقم تعريف شخصي بشروط
يتكوّن رقم تعريف شخصي من أربعة أرقام، ويحتوي صفرًا واحدًا ورقمًا زوجيًا آخر واحدًا بالضبط، من دون تكرار أي رقم. كم رقم تعريف شخصي يحقق هذه الشروط؟
الحل
نختار موضع الصفر بـ4 طرق. ثم نختار الرقم الزوجي الآخر من \(2,4,6,8\) بـ4 طرق، ونختار موضعه بـ3 طرق. نملأ الموضعين الباقيين برقمين فرديين مختلفين بـ\(5\cdot4\) طرق.
\[ 4\cdot4\cdot3\cdot5\cdot4=960. \]
التلوين الدائري
توجد أربعة مقاعد مرقمة حول طاولة دائرية. يُلوّن كل مقعد بالأحمر أو الأخضر أو الأزرق، ويجب أن يختلف لون كل مقعد عن لون المقعدين المجاورين له. كم تلوينًا صحيحًا يوجد؟
الحل
نختار لوني المقعدين الأول والثاني بـ\(3\cdot2\) طرق. ثم ننظر إلى المقعد الثالث:
- إذا كان لونه مثل لون المقعد الأول، فله اختيار واحد، وللمقعد الرابع اختياران.
- إذا اختلف لونه عن لوني المقعدين السابقين، فله اختيار واحد، ويكون لون المقعد الرابع محددًا.
إذن لكل اختيار للونَي المقعدين الأول والثاني، يمكن تلوين المقعدين الباقيين بعدد الطرق التالي:
\[ 1\cdot2+1\cdot1=3 \]
وبذلك يكون الجواب:
\[ 3\cdot2\cdot3=18. \]